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  • 本篇文章主要内容来自于ANSYS Fluent Population User Manual,但个人觉得这个Manual写的太差了,近期小范围重新整理并改写文章结构。2018年全部重写需要大量时间。

    群体平衡模型理论

    工业上,一些工况的第二相具有粒径的分布。这些粒子,如固体颗粒、气泡、液滴的粒径分布会随着多相体系的反应、传递现象的发生而随着时间发生变化。粒径的变化过程主要和成核、增长、分散、溶解、聚并以及破碎有关。因此,在需要考虑粒径分布的多相体系中,除了动量、质量以及能量守恒,需要添加一个平衡方程来描述粒子的平衡。这个平衡方程的框架通常称为群体平衡模型(PBM)。结晶、气液反应、鼓泡床、喷雾、流化床、造粒、液液乳化分离,以及气溶胶方面的研究经常需要引入群体平衡模型。为了更好地了解和使用这些模型,我们引入数量密度函数(NDF)的概念来表示粒子群。通过粒子的性质(比如尺寸,成分),可以分辨出群体平衡模型中的不同粒子,进而也可以描述他们的行为。

    在群体平衡模型领域,数量密度函数$n(\bfx,\phi,t)$的变量通常被称之为外部坐标和内部坐标,其中$\bfx$表示粒子的外部坐标,也即为粒子的空间位置,$\phi$表示粒子的内部坐标,其包含粒子的大小、组成、温度等变量。在有限的坐标域$\rd \Omega_{\bfx}\rd \Omega_\phi$内,粒子的数量为:$n(\bfx,\phi,t)\rd \Omega_{\bfx}\rd \Omega_\phi$。总计算域内的粒子总数为:

    \begin{equation}\tag{2.1} \int_{\Omega_\phi}^{ } {\int_{\Omega_\bfx}} n(\bfx,\phi,t)\rd \Omega_{\bfx}\rd \Omega_\phi \end{equation}
    每单位体积的粒子总数为:
    \begin{equation}\tag{2.2} N\left( {\bfx,t} \right) = \int_{{\Omega _\phi }} {n(\bfx,\phi,t)\rd \Omega_\phi} \end{equation}

    若假设NDF的内部坐标不包含粒子传输速度,NDF的传输方程又称之为群体平衡方程(Popolation Balance Equation, PBE)。若NDF内部坐标包含粒子传输速度以及其他的变量,NDF的传输方程被称之为普适性群体平衡方程(Generalized Popolation Balance Equation, GPBE)。若NDF的内部坐标只包含粒子传输速度,NDF的传输方程被称之为动力学方程(Kinetic Equation, KE)。在这里需要注意的是PBE和PBM的不同。并且上述不同的传输方程具有不同的数学特性需要完全不同的求解方法。

    本文主要讨论PBE。假定$V$为粒子体积,NDF传输方程可以表示为(省略$n$对$t$的依赖):

    \begin{equation}\tag{2.4} \begin{aligned} \frac{\partial }{\partial t} \left[ (n(V) \right ]+\nabla\cdot\left [ \bfU_\rd (n(V) \right ]+\underbrace{\nabla_v\cdot\left [ G_v (n(V) \right ]}_{Growth \ term}\\ &=\underbrace{\frac{1}{2}\int\limits_0^V a(V-V',V')n(V-V')n(V')\,\mathrm{d} V'}_{Birth\ dude\ to\ Aggregation}\\ &-\underbrace{\int\limits_0^{+\infty} a(V,V')n(V)n(V')\,\mathrm{d} V'}_{Death\ due \ to\ Aggregation}\\ &+\underbrace{\int\limits_{V}^{+\infty}g(V')\beta(V|V')n(V')\mathrm{d}V'}_ {Birth\ due\ to \ Breakage}\\ &-\underbrace{g(V)n(V)}_{Death\ due \ to \ Breakage }\\ \end{aligned} \end{equation}
    其中$\bfU_\rd$表示粒子的传输速度,$G_v$表示体积增长速率($\mathrm{m}^3/\mathrm{s}$),$a(V-V',V')$表示体积为$V-V'$和体积为$V'$的粒子的聚并频率($1/\mathrm{s}$),$g(V)$表示粒子的破碎频率($1/\mathrm{s}$),$\beta(V|V')$表示子粒子分布函数(无单位)。

    增长模型

    粒子的体积增长速率$G_v$通常定义为: \begin{equation}\tag{2.6} {G_v} = \frac{{\partial V}}{{\partial t}} \end{equation} 粒子的直径增长速率($\mathrm{m}/\mathrm{s}$)通常定义为: \begin{equation}\tag{2.7} G_l = \frac{{\partial L}}{{\partial t}} \end{equation} 其中$L$为粒子的直径。粒子的体积和直径的关系定义为$V=k_v L^3$,其中$k_v$为形状系数,对于球体有$k_v=\pi/6$。因此$G_v$和$G_l$的关系为: \begin{equation}\tag{2.8} {G_v} = 3{k_v}{L^2}G_l \end{equation} 粒子的表面$A$定义为$k_a L^2$,因此对于一个小的正方体或者球体有$k_a=6k_v$。需要注意的是,粒子的溶解可以看作为负增长。

    聚并和破碎导致的粒子生成和死亡

    在粒子聚并和破碎过程中伴随着粒子的生成和死亡。比较常见的破碎过程有结晶器中晶体的断裂,鼓泡床中由于湍流导致的气泡破碎等现象。类似的,典型的聚并过程如结晶器中的晶体聚并长大以及鼓泡床中的气泡聚并。

    破碎

    破碎模型可以表示为$g(V')\beta(V|V')$。其中:
  • $g(V')$表示破碎频率,即为体积为$V'$的粒子进行破碎所用时间的倒数;
  • $\beta(V|V')$为子粒子概率分布函数,即为粒子从$V'$体积破碎为$V$的可能性;
  • 破碎频率模型

    Fluent写的太差了,待我重写

    子粒子概率分布函数模型

    如果破碎产生了$2$个子粒子,通常被称之为二重破碎(binary)。如果破碎产生了多个子粒子,通常被称之为多重破碎。在二重破碎中,如果两个子粒子的质量相等,则被称之为对称破碎。如果两个子粒子不相等,则被称之为非对称破碎。如果两个子粒子的质量相差非常大,则通常被称之为侵蚀(erosion)。

    子粒子概率分布函数可以采用不同的形式,但所有的函数形式都应该满足下面这些特性:破碎的粒子标准化之后所有的值加起来是$1$。子粒子的质量总和应该和破碎前的粒子质量相等。粒子的破碎数量应该在子粒子概率分布函数中有具体的数学体现。从数学来讲,相应的特性可以这样来表示:

    标准化条件: \begin{equation}\tag{2.11} \int\limits_0^{V'} {\beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right)dV} = 1 \end{equation} 质量守恒条件: \begin{equation}\tag{2.12} p\int\limits_0^{V'} {m\left( V \right)\beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right)dV = m\left( {V'} \right)} \end{equation} 对于双重破碎,$β$函数关于$V/V'=0.5$对称,即为: \begin{equation}\tag{2.13} \beta \left( {V' - V{\rm{|}}V'} \right) = \beta (V|V') \end{equation} 破碎导致的粒子生成这样来表示: \begin{equation}\tag{2.9} {B_{br}} = \int_{{\Omega _v}} {pg\left( {V'} \right)\beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right)n\left( {V'} \right)dV'} \end{equation} 其物理意义为每单位时间有体积为$g(V')n(V')dV'$数量的粒子破碎并产生$pg(V')n(V')dV'$数量的新粒子。$p$为破碎产生的子粒子数量,例如如果破碎产生$2$个粒子,那么$p$即为$2$。破碎导致体积为$V$的粒子的死亡这样来表示: \begin{equation}\tag{2.10} {D_{br}} = g\left( V \right)n\left( V \right) \end{equation}

    数值求解方法

    均一离散法

    在均一离散法中,颗粒群的粒径范围被离散为有限的粒径间隔。这种方法的优点在于可以直接计算粒径分布。如果在求解前,粒径分布就已经可以大体的进行预估且数值的波动处于2-3倍之间的时候,均一离散法非常有效。在这种情况下,颗粒群被离散为相对小的粒径间隔并和计算流体动力学(CFD)耦合求解。这个方法的缺点就是如果需要很大数量的粒径间隔,占用计算资源较多。

    离散单元的相分数的传输方程表示如下: \begin{equation}\tag{1.1} \frac{\partial }{\partial t}\left ( \rho \alpha f_i \right )+\nabla\cdot\left ( \bfU_\rd\alpha f_i \right )=S_{bi} \end{equation} 在均一离散法中,由于所有的离散单元从属于离散相,因此所有离散单元由于聚并和破碎产生的净源项为0,其可以表达为: \begin{equation}\tag{1.2} \sum_{i=1}^{M}S_{bi}=0 \end{equation} 在图1.1中可以看出,所有的离散单元调用相同的相速度$\bfU_\rd$。均一离散法的一个限制就是所有的离散单元依附于离散相,因此其速度和离散相的速度相同。

    非均一离散法

    在某些情况下,一些过大的以及过小的粒子会由于动量的偏差引起分离,均一离散法并不适用于这些情况。非均一离散法有效的处理了这个问题。在非均一离散法中,离散单元可以调用不同的离散相速度,因此如果使用非均一离散法,群体平衡模型需调用多流体模型而非双流体模型。

    在图1.2中可以看出,在非均一离散法中,离散单元可以依附于多个离散子相。因此如果存在$N$个离散子相,每个相具有$M$个离散单元,那么总共就存在$M*N$个相离散单元。给定离散子相的离散单元会通过聚并以及破碎进入到另一离散子相(同时产生净源项),因此某一离散子相$i$内的离散单元净源项总和不一定为0,其可以表示为 \begin{equation}\tag{1.3} S_i=\sum_{i=1}^{M}S_{bi} \end{equation} 其表示$i$离散相的聚并破碎源项。





    同时,对于所有$N$个离散子相,所有的离散子相净源项之和为$0$: \begin{equation}\tag{1.4} \sum_{i=1}^{N}S_{bi}=0 \end{equation} 同时有: \begin{equation}\tag{1.4} \sum_{i=1}^{M}f_i=1 \end{equation}

    在ANSYS Fluent植入的非均一离散法中只能考虑聚并和破碎效应。

    标准矩方法(SMM)

    求解群体平衡模型的另一个方法是标准矩方法(SMM)。在标准矩方法中,群体平衡方程被转换成为一系列的矩方程。第$i$个矩被定义为在整个粒径空间内,将数量密度函数乘以粒径的$i$次幂的函数的积分。一般情况下,求解少数几个矩方程就够了,通常是3到6个。和离散法相比,矩方法求解的方程数量大大减少。除了在计算速度上的优点,如果我们不需要连续的数量密度函数,且用几个节点值就足够近似的表示数量密度函数的话,SMM方法非常有效。通常,零阶矩表示总数量密度、二阶矩表示每单位体积的粒子表面积、三阶矩表示离散相体积。

    在标准矩方法中,数量密度函数没有做任何假定,矩方程可以通过自身得以封闭(未知量转化为矩本身来求解)。然而,这种严格的自身封闭特性产生了非常大的局限性,因为大部分聚并和破碎模型并不能用转化为矩本身 。

    积分矩方法(QMOM)

    积分矩方法(QMOM)在计算速度上和SMM具有相同的优势,不同的是,QMOM使用高斯积分来封闭方程组(这在SMM中是通过用矩本身来封闭)。这使得QMOM可以更加广泛的应用。

    更新历史

    2018.11.28:继续改,ANSYS Fluent有关群体平衡模型的介绍写的太差了

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