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  • 第一章:引言


    在ANSYS Fluent中,群体平衡模型是ANSYS Fluent软件的附加模块。

    工业上,一些工况的第二相具有粒径(大小)的分布。这些粒子,如固体颗粒、气泡、液滴的粒径分布会随着多相体系的反应、传递现象的发生而随着时间发生变化。粒径的变化过程主要和成核、增长、分散、溶解、聚并以及破碎有关。因此,在需要考虑粒径分布的多相体系中,除了动量、质量以及能量守恒,需要添加一个平衡方程来描述粒子的平衡。这个平衡方程通常称为群体平衡模型(PBM)。结晶、气液反应、鼓泡床、喷雾、流化床、造粒、液液乳化分离,以及气溶胶方面的研究经常需要引入群体平衡模型。为了更好地了解和使用这些模型,我们引入数量密度函数(NDF)来表示粒子群。通过粒子的性质(比如尺寸,成分),可以分辨出群体平衡模型中的不同粒子,进而也可以描述他们的行为。

    ANSYS Fluent提供三种方法来求解群体平衡模型:离散法、标准矩方法(SMM)、积分矩方法(QMOM)。
    1.1. 均一离散法
    1.2. 非均一离散法
    1.3. 标准矩方法
    1.4. 积分矩方法
  • 1.1.均一离散法

  • 在均一离散法中,颗粒群的粒径范围被离散为有限的粒径间隔。这种方法的优点在于可以直接计算粒径分布。如果在求解前,粒径分布就已经可以大体的进行预估且数值的波动处于2-3倍之间的时候,均一离散法非常有效。在这种情况下,颗粒群被离散为相对小的粒径间隔并和计算流体动力学(CFD)耦合求解。这个方法的缺点就是如果需要很大数量的粒径间隔,占用计算资源较多。
  • 1.2. 非均一离散法

  • 均一离散法的一个限制就是所有bins依附于第二相,因此其动量和为第二相的动量相同。实际上,在某些情况下,一些过大的以及过小的粒子会由于动量的偏差引起分离,均一离散法并不适用于这些情况。非均一离散法有效的处理了这个问题。在非均一离散法中,bins群可以调用不同的相速度,因此如果非均一离散法激活,群体平衡模型可以应用于多个离散相的体系。

    bins分数的传输方程表示如下: \begin{equation}\tag{1.1} \frac{\partial }{\partial t}\left ( \rho \alpha f_i \right )+\nabla\cdot\left ( \vec{u_p}\alpha f_i \right )=S_{bi} \end{equation} 在均一离散法中,由于所有的bins从属于同一相,因此这一相由于聚并和破碎产生的净源项为0,其可以表达为: \begin{equation}\tag{1.2} \sum_{i=1}^{M}S_{bi}=0 \end{equation} 在图1.1中可以看出,所有的bins调用相同的相速度。相反的,在图1.2中可以看出,在非均一离散法中,bins可以依附于多个相。因此如果存在$N$相,每个相具有$M$个bins,那么总共就存在$M*N$个bins。$f_1$和$f_M$分数的bins通过相速度$\vec{u_{p_1}}$在相间传递。由于给定相的bins会通过聚并融合以及破碎进入另一相(同时这也会产生净源项),因此某一相相内的bins净源项总和不一定为0。



    对于给定相,bins产生的净源项可以表示为从属于这一相的bins源项的总和: \begin{equation}\tag{1.3} S_i=\sum_{i=1}^{M}S_{bi} \end{equation} 基于聚并和破碎,所有相空间的bins净源项之和为0: \begin{equation}\tag{1.4} \sum_{i=1}^{N}S_{bi}=0 \end{equation} 如果为均一离散法,同样地我们有: \begin{equation}\tag{1.4} \sum_{i=1}^{M}f_i=1 \end{equation}
    注意:


    目前在非均一离散法中,只能考虑聚并和破碎效应。
  • 1.3. 标准矩方法(SMM)

  • 求解群体平衡模型的另一个方法是标准矩方法(SMM)。在标准矩方法中,群体平衡方程被转换成为一系列的矩方程。第$i$个矩被定义为在整个粒径空间内,将数量密度函数乘以粒径的$i$次幂的函数的积分。一般情况下,求解少数几个矩方程就够了,通常是3到6个。和离散法相比,矩方法求解的方程数量大大减少。除了在计算速度上的优点,如果我们不需要连续的数量密度函数,且用几个节点值就足够近似的表示数量密度函数的话,SMM方法非常有效。通常,零阶矩表示总数量密度、二阶矩表示每单位体积的粒子表面积、三阶矩表示总质量密度。

    在标准矩方法中,粒径分布(数量密度函数)没有做任何假定,矩方程可以通过自身得以封闭(未知量转化为矩本身来求解)。然而,这种严格的自身封闭特性产生了非常大的局限性,因为大部分聚并和破碎模型并不能用转化为矩本身 。
  • 1.4. 积分矩方法(QMOM)

  • 积分矩方法(QMOM)在计算速度上和SMM具有相同的优势,不同的是,QMOM使用积分来封闭方程组(这在SMM中是通过用矩本身来封闭)。这使得QMOM可以更加广泛的应用。


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