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  • 第二章:群体平衡模型理论


    这一章我们讨论ANSYS Fluent中用于预测粒径增长与成核的各种方法的控制方程的基本理论。
    2.1. 粒子状态矢量
    2.2. 群体平衡方程(PBE)
    2.3. 求解方法
    2.4. 群体平衡统计学
  • 2.1. 粒子状态矢量

  • 粒子状态矢量通过一系列的外部坐标$\vec{x}$以及内部坐标$\phi$来定义,外部坐标实际上就是粒子的空间位置,内部坐标包含粒子的大小、组成、温度等相关代表量。依据我们定义的坐标系统,我们定义数量密度函数(NDF)为:$n(\vec{x},\phi,t)$,其中$\phi\in \Omega_\phi$,$\vec{x}\in\Omega_{\vec{x}}$。因此,在无限小的有限体积$dV_{\vec{x}}dV_\phi$内,平均粒子数量为:$n(\vec{x},\phi,t)dV_{\vec{x}}dV_\phi$。连续相状态矢量表示为:$\vec{Y}=[Y_1(\vec{x},t),Y_2(\vec{x},t),...,Y_c(\vec{x},t)]$。因此,体系内的粒子总数为:
    \begin{equation}\tag{2.1} \int_{\Omega_\phi}^{ } {\int_{\Omega_\vec{x}}} ndV_{\vec{x}}dV_\phi \end{equation} 局部平均粒子数量密度为(即每单位体积的粒子总数): \begin{equation}\tag{2.2} N\left( {\vec x,t} \right) = \int_{{\Omega _\phi }} {n\;d{V_\phi }} \end{equation} 所有粒子的总体积分数为: \begin{equation}\tag{2.3} \alpha \left( {\vec x,t} \right) = \int_{{\Omega _\phi }} {n\;V\left( \phi \right)d{V_\phi }} \end{equation} 其中$V(\phi)$为粒子在状态空间$\phi$中的体积。
  • 2.2. 群体平衡方程

  • 假定$\phi$为粒子体积,数量密度函数的传递方程为: \begin{equation}\tag{2.4} \begin{aligned} \frac{\partial }{\partial t} \left[ (n(V,t) \right ]+\nabla\cdot\left [ \vec u (n(V,t) \right ]+\underbrace{\nabla_v\cdot\left [ G_v (n(V,t) \right ]}_{Growth \ term}\\ &=\underbrace{\frac{1}{2}\int\limits_0^V a(V-V',V')n(V-V',t)n(V',t)\,\mathrm{d} V'}_{Birth\ dude\ to\ Aggregation}\\ &-\underbrace{\int\limits_0^{+\infty} a(V,V')n(V,t)n(V',t)\,\mathrm{d} V'}_{Death\ due \ to\ Aggregation}\\ &+\underbrace{\int_{\Omega_v}pg(V')\beta(V|V')n(V',t)\mathrm{d}V'}_ {Birth\ due\ to \ Breakage}\\ &-\underbrace{g(V)n(V,t)}_{Death\ due \ to \ Breakage }\\ \end{aligned} \end{equation} 其边界条件以及初始条件为: \begin{equation}\tag{2.5} n\left( {V,t = 0} \right) = {n_v};n\left( {V = 0,t} \right){G_v}\dot{n_0 } \end{equation} 其中$\dot{n_0}$是成核速率,单位为粒子$/m^3 s^{-1}$。
  • 2.2.1. 粒子增长和溶解

  • 粒子的体积增长速率为$G_v$,$(m^3/s)$,其定义为: \begin{equation}\tag{2.6} {G_v} = \frac{{\partial V}}{{\partial t}} \end{equation} 粒子的直径(长度)增长速率定义为: \begin{equation}\tag{2.7} G = \frac{{\partial L}}{{\partial t}} \end{equation} 粒子的体积和直径的关系定义为$V=K_v L^3$,因此$G_v$和$G$的关系为: \begin{equation}\tag{2.8} {G_v} = 3{K_v}{L^2}G \end{equation} 粒子的表面$A$定义为$K_a L^2$。因此对于一个小的正方体或者球体我们有$K_a=6K_v$。
    注意:


    粒子的溶解可以看作为负增长。
  • 2.2.2. 聚并和破碎导致的粒子生成和死亡

  • 在粒子聚并和破碎过程中伴随着粒子的生成和死亡。比较常见的破碎过程有结晶器中晶体的断裂,鼓泡床中由于湍流导致的气泡破碎等现象。类似的,聚并过程可以发生在结晶器中的晶体聚并长大以及鼓泡床中的气泡聚并现象。
  • 2.2.2.1 破碎

  • 我们用下面的表达式来表达破碎核:$g(V')\beta(V|V')$。其中:
  • $g(V')$:破碎频率,即为体积为V'的粒子的破碎所用时间的倒数;
  • $\beta(V|V')$:概率分布密度函数(DSD),即为粒子从V'体积破碎为V的可能性;
  • 破碎导致的粒子生成这样来表示: \begin{equation}\tag{2.9} {B_{br}} = \int_{{\Omega _v}} {pg\left( {V'} \right)\beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right)n\left( {V'} \right)dV'} \end{equation} 其物理意义为每单位时间有体积为$V'$,$g(V')n(V')dV'$数量的粒子破碎并产生$pg(V')n(V')dV'$数量的新粒子。p为破碎产生的子粒子数量,例如如果破碎产生2个粒子,那么p即为2。

    破碎导致体积为V的粒子的死亡这样来表示: \begin{equation}\tag{2.10} {D_{br}} = g\left( V \right)n\left( V \right) \end{equation} $β(V|V')$又称之为子粒径分布(DSD)函数。其可以采用不同的形式,但所有的函数形式都应该满足下面这些特性:破碎的粒子标准化之后所有的值加起来是1。子粒子的质量总和应该和破碎前的粒子质量相等。粒子的破碎数量应该在DSD函数中有具体的数学体现。从数学来讲,相应的特性可以这样来表示:
  • 标准化条件:
  • \begin{equation}\tag{2.11} \int\limits_0^{V'} {\beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right)dV} = 1 \end{equation}
  • 质量守恒条件:
  • \begin{equation}\tag{2.12} p\int\limits_0^{V'} {m\left( V \right)\beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right)dV = m\left( {V'} \right)} \end{equation}
  • 对于双重破碎,$β$函数关于$V/V'=0.5$对称,即为:
  • \begin{equation}\tag{2.13} \beta \left( {V' - V{\rm{|}}V'} \right) = \beta (V|V') \end{equation}
    ANSYS Fluent提供了下述模型来计算破碎频率:
  • 常数模型;
  • Luo模型;
  • Lehr模型;
  • Ghadiri模型;
  • Laakkonen模型;
  • 用户自定义模型;
  • ANSYS Fluent也提供了下述模型来计算DSD函数:
  • 抛物线模型
  • Luo模型;
  • Laakkonen模型;
  • 多重破碎普适性模型;
  • 用户自定义模型;
  • 2.2.2.2 Luo & Lehr模型




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