• 返回目录

  • 2.2.2.2 Luo & Lehr模型

  • Luo & Lehr模型是积分类模型,它本身已经包含了破碎频率以及DSD函数。Luo & Lehr模型每单位体积的破碎率通常这样表示[1]: \begin{equation}\tag{2.14} {\Omega _{br}}\left( {V,V'} \right) = {\Omega _B}\left( {V'} \right)\eta \left( {V{\rm{|}}V'} \right)\left[ {1/{m^3}/s} \right] \end{equation} 其中原始粒子的体积为$V'$,子粒子的体积为$V$。在这个表达式中,我们用$\Omega_B(V')$表示破碎频率,$\eta(V|V')$是标准化的DSD函数。对于双重破碎,破碎核应关于$V'/V=0.5$对称。积分点起始于无量纲涡径$\epsilon=\lambda/d$。其中$d$为粒子的直径,$λ$为撞击直径为$d$的粒子的涡的大小。

    破碎率的完整形式为: \begin{equation}\tag{2.15} {\Omega _{br}}\left( {V,V'} \right) = K\mathop \smallint \limits_{{\xi _{min}}}^1 \frac{{{{\left( {1 + \xi } \right)}^2}}}{{{\xi ^n}}}\exp \left( { - b{\xi ^m}} \right)d\xi \end{equation} 其中各个参数列举如下:

    表2.1:Luo模型参数

    $K[1/m{\rm{^3/sec]}}$ $n$ $b$ $m$
    $0.928\varepsilon^{1/3}d^{-2/3}\alpha$ $11/3$ $12\left[ {{f^{2/3}} + {{\left( {1 - f} \right)}^{2/3}} - 1} \right]\sigma {\rho ^{ - 1}}{\varepsilon ^{ - 2/3}}{d^{ - 5/3}}{\beta ^{ - 1}}$ $-11/3$


    其中$\beta=2.047$,参见Luo[2]。

    表2.2:Lehr模型参数

    $K[1/m{\rm{^3/sec]}}$ $n$ $b$ $m$
    $1.19{\varepsilon ^{1/3}}{d^{ - 7/3}}\sigma {\rho ^{ - 1}}{f^{ - 1/3}}$ $13/3$ $2W{e^{crit}}\sigma {\rho ^{ - 1}}{\varepsilon ^{ - 2/3}}{d^{ - 5/3}}{f^{ - 1/3}}$ $-2/3$




    其中$We_{crit}$通过用户界面来定义,参见Lehr[3]。
  • 2.2.2.3. Ghadiri破碎核

  • 不同于Luo & Lehr模型,Ghadiri模型只用来固体粒子的破碎[4],[5]。用户需要自行定义DSD函数。

    Ghadiri模型的破碎频率$f$和材料的性质以及撞击条件有关: \begin{equation}\tag{2.16} f = \frac{{{\rho _s}{E^{2/3}}}}{{{\Gamma ^{5/3}}}}{v^2}{L^{5/3}} = {K_b}{v^2}{L^{5/3}} \end{equation} 其中$\rho_s$为颗粒密度,$E$为小颗粒的弹性模量,$\gamma$为界面能,$v$为撞击速度,$L$为破碎前颗粒直径。$K_b$为破碎常数,其定义为: \begin{equation}\tag{2.17} {K_b} = \frac{{{\rho _s}{E^{2/3}}}}{{{\Gamma ^{5/3}}}} \end{equation}
  • 2.2.2.4. Laakkonen破碎核

  • Laakkonen破碎核为破碎频率$g(V')$和DSD函数$\beta(V,V')$的乘积,其中$g(V')$表示为: \begin{equation}\tag{2.18} g\left( {V'} \right) = {C_2}{\varepsilon ^{\frac{1}{3}}}erfc\left( {\sqrt {{C_3}\frac{\sigma }{{{\rho _L}{\varepsilon ^{2/3}}{d^{5/3}}}} + {C_4}\frac{{{\mu _L}}}{{\sqrt {{\rho _L}{\rho _G}} {\varepsilon ^{2/3}}{d^{5/3}}}}} } \right) \end{equation} 其中$\varepsilon$为液相湍流动能,$\sigma$为表面张力,$\rho_l$为液体密度,$\rho_g$为气体密度,$d$为破碎前的粒子直径,$\mu_L$为液体粘度。其中的常数取$C_2=2.52$,$C_3=0.04$,$C_4=0.01$。

    DSD函数表示为: \begin{equation}\tag{2.19} \beta \left( {V,V'} \right) = \frac{{30}}{{V'}}{\left( {\frac{V}{{V'}}} \right)^2}{\left( {1 - \frac{V}{{V'}}} \right)^2} \end{equation} 其中$V$,$V'$分别为破碎后的粒子体积和破碎前的粒子体积。相对于广泛使用的Luo & Lehr模型,Laakkonen破碎核的DSD模型非常简单因此计算量更小。
  • 2.2.2.5. 抛物线DSD函数

  • 抛物线DSD函数本身包含了用于描述不同破碎工况的参数。它提供破碎可能生成的粒子数量以及可能的粒径分布。ANSYS Fluent中植入的抛物线DSD函数这样定义: \begin{equation}\tag{2.20} \beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right) = 0.5\left( {\frac{C}{{V'}} + \frac{{1 - \frac{C}{2}}}{{V'}}\left( {24{{\left( {\frac{V}{{V'}}} \right)}^2} - 24{{\left( {\frac{V}{{V'}}} \right)}^2} + 6} \right)} \right) \end{equation} 其中$V$,$V'$表示破碎后的子粒径和破碎前的粒径。依据形状参数$C$,抛物线DSD函数会具有不同的形状。比如,当$C=2$的时候,粒子破碎具有均一分布。当$0
    需要注意的是方程2.20中定义的DSD函数具有关于$V/V'=0.5$的对称特性。
  • 2.2.2.6. 普适性DSD函数

  • ANSYS Fluent提供的普适性DSD函数适用于多重破碎,它可以演变成为不同的具体的DSD函数(例如,均一分布、Attrition分布、幂率分布、抛物线分布等)。普适性DSD函数可以用于离散法以及积分矩方法。

    依据自相似性法则[6],自相似性$z$定义为子粒子和原本粒子的比值($z=V/V'$),普适性DSD函数可以定义为: \begin{equation}\tag{2.21} p\beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right) = \frac{{\theta \left( z \right)}}{{V'}} \end{equation} 其中$θ(z)$是自相似性分布函数[7]。$θ(z)$的$k$阶矩,$b_k$,定义为: \begin{equation}\tag{2.22} {b_k} = \int_0^1 {z^k}\theta \left( z \right)dz = \frac{{{B_k}\left( {V'} \right)}}{{{V^{'k}}}} \end{equation} 其中: \begin{equation}\tag{2.23} {B_k}\left( {V'} \right) = \int_0^{V'} {V^k}p\beta \left( {V{\rm{|}}V'} \right)dV \end{equation} 考虑质量(数量)守恒,其进一步可以表示为: \begin{equation}\tag{2.24} {b_0} = \int_0^1 {\theta \left( z \right)dz} = p \end{equation} \begin{equation}\tag{2.25} {b_1} = \int_0^1 z\theta \left( z \right)dz = 1 \end{equation} 普适性的$θ(z)$函数可以表示为: \begin{equation}\tag{2.26} \theta \left( z \right) = \mathop \sum \limits_i {w_i}{p_i}\frac{{{z^{{q_i} - 1}}{{\left( {1 - z} \right)}^{{r_i} - 1}}}}{{\beta \left( {{q_i},{r_i}} \right)}} \end{equation} 其中$i$可以为$0$或者$1$,它分别代表$θ(z)$函数由1项或者2项组成。每一项中的$w_i$为权系数,$p_i$为子粒子的平均数量,$q_i$以及$r_i$为指数,$\beta(q_i,r_i)$为beta函数。其应满足下述限制: \begin{equation}\tag{2.27} \mathop \sum \limits_i {w_i} = 1 \end{equation} \begin{equation}\tag{2.28} \mathop \sum \limits_i {w_i}{p_i} = p \end{equation} \begin{equation}\tag{2.29} \mathop \sum \limits_i {w_i}\left( {\frac{{{p_i}{q_i}}}{{{q_i} + {r_i}}}} \right) = 1 \end{equation} 为了表明如何将普适性DSD函数转化为具体的DSD函数,可以参考表2.3:

    表2.3

    表2.3
    在表2.3中,$\delta$为狄拉克函数,$w$为权系数,$ε,v,v_1,v_2$为用户自定义参数。

    表2.4

    表2.5

    表2.5
    用户可以将$\infty$指定为一个非常大的数例如$1e20$
    Beta -a 双重破碎是Beta -b双重破碎当$v=3$的特殊情况。
  • 2.2.2.7. 聚并




  • 上一页   下一页