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  • 2.2.2.7. 聚并

  • 聚并核通常表示为[1]: \begin{equation}\nonumber a(V,V') \end{equation} 聚并核的单位是$m^3/s$,其通常由2个部分组成:
  • 聚并频率:两个体积为$V$,$V'$的粒子的碰撞频率;
  • 聚并有效性:体积为$V$,$V'$的粒子发生聚并的可能性;
  • 聚并导致的粒子产生项为: \begin{equation}\tag{2.30} B_{ag}=\frac{1}{2}\int\limits_0^V {a(V-V',V')n(V-V') \mathrm{d}V'} \end{equation} 其表示体积为$V$-$V'$的粒子和体积为$V'$的粒子聚并后生成体积为$V$的新粒子。1/2用来防止对一次聚并进行重复计算。

    体积为V的粒子的聚并死亡项为: \begin{equation}\tag{2.31} D_{ag}=\frac{1}{2}\int\limits_0^{\infty} {a(V-V',V')n(V)n(V-V') \mathrm{d}V'} \end{equation}
    注意:


    破碎以及聚并和流场的特性以及流体的特性有关。例如,在气液混合中,破碎核以及聚并核均为湍流动能的函数。
    ANSYS Fluent提供了下述聚并模型:
  • 常数模型;
  • Luo模型;
  • 自由分子模型;
  • 湍流模型;
  • 用户自定义模型;
  • 下面我们详细讨论Luo模型、自由分子模型以及湍流聚并模型。
  • 2.2.2.8. Luo模型

  • Luo模型属于二重聚并破碎模型,Luo模型的聚并率定义为体积为V_i和体积为V_j的俩个粒子碰撞后生成新粒子的频率: \begin{equation}\tag{2.32} \Omega_{ag}(V_i,V_j)=\omega_{ag}(V_i,V_j)P_{ag}(V_i,V_j)[ \ m^3/sec \ ] \end{equation} 其中$ω_ag(V_i,V_j)[m^3/sec]$为聚并频率,$P_ag(V_i,V_j)$为碰撞导致聚并的可能性。Luo模型的聚并频率定义为: \begin{equation}\tag{2.33} \omega_{ag}(V_i,V_j)=\frac{\pi}{4}(d_i+d_j)^2n_jn_i\overline{u}_{ij} \end{equation} 其中$\bar{u_{ij}}$是直径为$d_i$,$d_j$,数量密度为$n_i$,$n_j$的两个粒子发生碰撞时的特征速度,其这样定义: \begin{equation}\tag{2.34} \overline{u}_{ij}=(\overline{u}_i^2+\overline{u}_j^2)^{1/2} \end{equation} 其中: \begin{equation}\tag{2.35} \overline{u}_i=1.43(\xi d_j^2)^{1/3} \end{equation} 碰撞可能性定义为: \begin{equation}\tag{2.36} P_ag=exp \left\{ -c_i \frac{\left[0.75\left(1+x_ij^2\right)\left(1+x_ij^3\right)\right ]^{1/2}}{\left(p_2/p_1+0.5\right)^{1/2}\left(1+x_ij\right)^3} We_{ij}^{1/2} \right\} \end{equation} 其中$c_1$是数量级为$1$的常数,$x_{ij}=d_i/d_j$,$ρ_1$和$ρ_2$是连续相和离散相的密度,其中的韦伯数定义为: \begin{equation}\tag{2.37} We_{ij}=\frac{p_id_i(\overline{u}_{ij})^2}{\sigma} \end{equation}
  • 2.2.2.9. 自由分子聚并模型

  • 真实粒子的聚并和破碎频率实际上是由粒子的内部坐标决定的[2]。特别的,对于非常小的粒子(例如最大为1微米的粒子),聚并主要受布朗运动控制。在这种情况下,聚并频率主要和粒子大小有关,其表述如下: \begin{equation}\tag{2.38} a\left(L_i,L_j \right)=\frac{2k_BT}{3\mu}\frac{\left(L_i+L_j\right)^2}{L_iL_j} \end{equation} 其中$k_B$为玻尔兹曼常数,$T$为绝对温度,$μ$为悬浮液的粘度。这个聚并模型也称之为布朗运动聚并核。
  • 2.2.2.10. 湍流聚并模型

  • 在工业混合过程中,会持续的输入机械能。这种持续输入的机械能会产生湍流,湍流进而产生涡,涡反过来将能量耗散。能量通过大涡向小涡传递而发生转移,并在这个过程中通过粘性耗散消失。最小的涡的尺寸为Kolmogorov尺度,$η$,其为一个和分子粘度以及湍流耗散相关的函数: \begin{equation}\tag{2.39} \eta=\left(\frac{v^3}{\epsilon}\right) \end{equation} 在湍流中,聚并现象通过俩种机理产生:
  • 粘性支层机理:适用于当粒子小于Kolmogorov尺度的时候;
  • 惯性子区机理:适用于当粒子大于Kolmogorov尺度的时候,在这种情况下,粒子的速度采用离散相的速度;
  • 对于粘性支层机理,粒子的聚并行为受涡内的局部剪切力所影响。基于Saffman以及Turner的研究工作[3],碰撞率这样来定义: \begin{equation}\tag{2.40} a\left(L_i,L_j \right)=\xi_T\sqrt{\frac{8\pi}{15}}\overset{.}\gamma\frac{(L_i+L_j)^3}{8} \end{equation} 其中$ζ_T$为湍流碰撞有效经验常数, $\dot{\gamma}$定义为: \begin{equation}\tag{2.41} a\overset{.}\gamma=\frac{(\epsilon^0.5}{v} \end{equation} 对于惯性子区机理,粒子的尺度要大于最小的涡尺度,因此他们被主流场牵引运动。在这种情况下,聚并模型可以使用Abrahamson模型来模化[4]: \begin{equation}\tag{2.42} a\left(L_i,L_j \right)=\xi_T2^{3/2}\sqrt{\pi}\frac{(L_i+L_j)^2}{4} \sqrt{(U_i^2+U_j^2)} \end{equation} 其中$U_i^2$是粒子$i$平均速度的平方。

    湍流碰撞有效经验常数,$ζ_T$,主要考虑流体动力学以及碰撞粒子之间的相互作用,Higashitani等人[5]提出了以下模型: \begin{equation}\tag{2.43} \xi_T=0.732\left(\frac{5}{N_T}\right)^{0.242}\;;N_T \geq 5 \end{equation} 其中$N_T$为粘性力和范德华力的比值,其定义为: \begin{equation}\tag{2.44} N_T=\frac{6\pi\mu\left(L_i+L_j\right)^3\lambda}{8H} \end{equation} 其中$H$为Hamaker常数,其为一个关于粒子物性的函数,$λ$为形变率,其定义为: \begin{equation}\tag{2.45} \lambda=\left(\frac{4\epsilon}{15\pi v}\right)^{0.5} \end{equation}
  • 2.2.3. 粒子成核

  • 依据不同的具体应用,由于分子从主相到第二相的转移会发生粒子的自发成核。例如溶解过程中的结晶现象,最开始的过程即为相分离,也即新的晶体的析出。在沸腾过程中,第一批气泡群的产生也是一种成核过程,通常也被称为“泡核沸腾”。

    结晶率通过边界条件来定义。参见第6页的方程2.5。
  • 2.3. 求解方法




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