• 返回目录

  • 2.3. 求解方法

  • 前面我们已经讨论过,群体平衡模型在ANSYS Fluent中可以使用四种不同的方法来求解:均一离散法、非均一离散法、标准矩方法(SMM)、积分矩方法(QMOM)。每一种方法,ANSYS Fluent都将内部坐标数量限制为1个(粒径)。下面的章节我们来讨论这些方法以及他们的优缺点。
  • 2.3.1. 均一离散法
  • 2.3.2. 非均一离散法
  • 2.3.3. 标准矩方法
  • 2.3.4. 积分矩方法
  • 2.3.1. 均一(非均一)离散法

  • 均一离散法也即类方法(Class Method),其由Hounslow[1],Litster[2],Ramkrishna[3]提出。它将连续的粒子数量密度函数使用一系列离散的bins来表示,如图2.1所示。这种方法在数值上非常稳健,并且直接可以给出具体的粒子数量密度函数。然而在均一离散法中的bins需要提前给定,并且需要定义大量的bins。

    非均一离散法建立在均一离散法基础之上,他们的原理是相同的。

    cfd
  • 2.3.1.1. 数值方法

  • 在ANSYS Fluent中,PBE用大小为i的粒子体积分数来表示: \begin{equation}\tag{2.46} \frac{\partial}{\partial t}(p_sa_i)+ \nabla\cdot(p_su_ia_i)+\frac{\partial}{\partial V} \left(\frac{G_vp_sa_i}{V}\right)= p_sV_i(B_{ag,i}-D_{ag,i}+B_{br,i}-D_{br,i})+ 0_ip_sv_0\overset{.}n_0 \end{equation} 其中$ρ_S$为离散相的密度,$α_i$为大小为$i$的粒子体积分数,其定义为: \begin{equation}\tag{2.47} a_i=N_iV_i \quad i=0,1,.......,N-1 \end{equation} 其中: \begin{equation}\tag{2.48} N_i(t)=\int\limits_{V_i}^{V_{i+1}} {n(V,t) \mathrm{d}V} \end{equation} 其中$V_i$是粒子大小为$i$的粒子体积。ANSYS Fluent中,$f_i$被定义为一个求解变量,其可以表示为 \begin{equation}\tag{2.49} f_i=\frac{a_i}{a} \end{equation} 其中$α$是离散相的总体积分数。方程中的$\dot{n_0}$表示最小体积$V_0$的粒子的体积分数。$0^i$表示这是一个特殊的项,这个项只在最小的粒子传输方程中出现。方程2.46中增长项的离散形式为: \begin{equation}\tag{2.50} \frac{\partial }{\partial V}\left(\frac{G_vp_sa_i}{V}\right)= p_sV_i\left[\left(\frac{G_{v,i-1}N_{i-1}} {V_i-V_{i-1}}\right) -\left(\frac{G_{v,i}N_i} {V_{i+1}-V_i}\right) \right] \end{equation} 体积坐标被定义为$V_{i+1}/V_i=2^q$[4],其中$q=1,2,…,$我们称之为“比例因子”。

    粒子的生成和死亡定义为: \begin{equation}\tag{2.51} B_{ag,i}=\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}a_{kj}N_kN_jx_{kj}\xi_{kj} \end{equation} \begin{equation}\tag{2.52} D_{ag,i}=\sum_{j=1}^{N}a_{ij}N_iN_j \end{equation} \begin{equation}\tag{2.53} B_{br,i}=\sum_{j=i+1}^{N}g(V_j)N_j\beta(Vi|V_j) \end{equation} \begin{equation}\tag{2.54} D_{br,i}=g(V_i)N_i \end{equation} 其中$a_{ij}=a(V_i,V_j)$,且:
    cfd
    $V_{ag}$为粒子$k$和粒子$j$聚并后的粒子体积,其定义为: \begin{equation}\tag{2.56} V_ag=\left[x_{kj}V_j+(1-x_{kj})V_{i+1}\right] \end{equation} 其中: \begin{equation}\tag{2.57} x_{kj}=\frac{V_{ag}-V_{i+1}}{V_i-V_{i+1}} \end{equation} 如果$V_{ag}$大于或者等于最大颗粒体积$V_N$,那么其对N-1类的贡献为: \begin{equation}\tag{2.58} x_{kj}=\frac{V_{ag}}{V_N} \end{equation}
    注意:


    最小的粒子不会破碎。
  • 2.3.1.2. 离散法——破碎方程

  • ANSYS Fluent中默认的破碎方程建立在Hagesather方法[5]基础之上。在这个方法中,破碎源项在保留相关质量和密度特性的同时,被分解为相对小的bins。如果连续的bins大小可以表示为$2^n$的时候,其中$n=1,2,…,$,第i个bins的源项可以表示为: \begin{equation}\tag{2.59} B_b(i)\quad=\quad \sum_{k=i+1,i\not= N}^{N}\Omega_b(v_k,v_i)+\sum_{k=i,i\not= N}^{i} x_{i+1,k}\Omega_b(v_{i+1,v_k})\\ +\sum_{k=1,i\not= 1}^{i-1}(1-x,k)g(v_(i+1)\Omega_b(V_i,v_k )) \end{equation} 其中: \begin{equation}\tag{2.60} \Omega_b(v_k,v_i)=N_kg(v_k)\beta(v_k,v_i) \end{equation} Ramkrishna[6]提出了一个更加严谨的形式: \begin{equation}\tag{2.61} B_b(i)=\sum_{i}^{N}n_{i,k}g(v_k)N_k \end{equation} 其中: \begin{equation}\tag{2.62} n_{i,k}=\int_{v_i} {v_{i+1}\frac{v_{i+1}-v}{v_{i+1}-v_i}\beta (v_k,v) \mathrm{d}v} +\int_{v_{i-1}}^{v_i} {\frac{v_i-v_{i-1}}{v_i-v_{i-1}}\beta (v_k,v) \mathrm{d}v} \end{equation} Ramkrishna的算法计算起来相对较慢,因为其需要较多的积分点。然而,如果$β$函数的形式相对简单,积分算起来或许会容易一些。Hagesather算法需要相对较少的积分点,其和Ramkrishna算法的误差可以依靠对bins大小的合适选取来最小化。
    注意:


    为了使得计算时间可以接受,在Ramkrishna算法和Luo模型结合的时候,局部湍流耗散率被整体平均湍流耗散率代替。

    非均一离散法调用Hagesather算法。
  • 2.3.2. 标准矩方法(SMM)




  • 上一页   下一页