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  • 2.3.2. 标准矩方法(SMM)

  • SMM由Randolph和Larson提出(译者注:据R.Mcgraw在1997年首次提出QMOM方法的论文中,MOM方法由H. M. Hulburt在1964年的一篇论文中提出),其为求解PBE的另一种方法。它的优点是将问题大大简化,并且求解低阶矩的传输方程很容易。其缺点为只有使用常数聚并核以及粒径依赖的增长项的时候方程才能封闭,其也不能模化破碎模型。但是,SMM的封闭问题可以通过QMOM方法来解决。
  • 2.3.2.1. 数值方法

  • 标准矩方法建立在将PBE方程的内坐标取矩的基础之上。我们定义$k$阶矩为: \begin{equation}\tag{2.63} m_k(\overline{x},t)=\int\limits_{0}^{\infty}{n(L;\overline{x},t)L^k \mathrm{d}L}\quad k=0,1, .....,N-1 \end{equation} 假定常数粒子增长,PBE的传输方程可以表示为: \begin{equation}\tag{2.64} \frac{\partial}{\partial t}(p_sm_k)+\nabla\cdot(p_s\vec{u} m_k)= p_s(\overline{B}_{ag,k}-\overline{D}_{ag,k}+\overline{B}_{br,k}-\overline{D}_{br,k}) +p_s(0^kn_0+Growth) \end{equation} 其中$m_k$为$k$阶矩,以及: \begin{equation}\tag{2.65} \overline{B}_{ag,k}=\frac12 \int\limits_0^\infty n(\lambda)\int\limits_0^\infty a(u,\lambda) (u,\lambda)(u^3+\lambda^3)^{k/3}n(u) \mathrm{d}u \mathrm{d}\lambda \end{equation} \begin{equation}\tag{2.66} \overline{D}_{ag,k}= \int\limits_0^\infty L^kn(L) \int\limits_0^\infty a(L,\lambda) n(\lambda) \mathrm{d}u \mathrm{d}\lambda \end{equation} \begin{equation}\tag{2.67} \overline{B}_{br,k}= \int\limits_0^\infty L^k \int\limits_0^\infty g(\lambda) \beta(L|\lambda) n(\lambda) \mathrm{d}u \mathrm{d}\lambda \end{equation} \begin{equation}\tag{2.68} \overline{D}_{br,k}= \int\limits_0^k L^kg(L) \mathrm{d}L \end{equation} 其中$\dot{n_0}$为成核率,增长项定义为: \begin{equation}\tag{2.69} Growth=\int\limits_0^\infty {kL^{k-1}G(L)n(L,t) \mathrm{d}L} \end{equation} 常数增长项可以定义为: \begin{equation}\tag{2.70} kGm_{k-1} \end{equation} 方程2.65使用了下述方程来推导(积分变量替换): \begin{equation}\nonumber {u^3} = {L^3} - {\lambda ^3};dL = \frac{{{u^2}}}{{{L^2}}}du \end{equation} 我们可以使用矩来代表相关的物理量: \begin{equation}\tag{2.71} N_{total}\quad=\quad m_0 \end{equation} \begin{equation}\tag{2.72} L_{total}\quad=\quad m_1 \end{equation} \begin{equation}\tag{2.73} A_{total}\quad=\quad K_am_2 \end{equation} \begin{equation}\tag{2.74} V_{total}\quad=\quad K_vm_3 \end{equation} \begin{equation}\tag{2.75} d_{32}\quad=\quad \frac{m_3}{m_2} \end{equation} 这些特性分别表示每单位体积的粒子总数量、长度、面积、固体颗粒体积。其中平均索特直径,$d_{32}$,通常用来表示粒径。

    为了封闭方程2.64,方程2.65-2.68的相关量需要用矩来表示。一种方法是假定聚并破碎和粒径无关,并且结合一切其他的简化如使用泰勒级数来表示$(u^3+λ^3 )^(k/3)$。因此NDF的型线可以被决定,方程2.65-2.68进而可以被积分而封闭。

    用户若需要使用SMM方法,在ANSYS Fluent中,强制的将PBE方程的源项限制为不依赖粒径的增长项以及一个常数聚并核。
  • 2.3.3. 积分矩方法(QMOM)

  • 积分矩方法首先由McGraw[1]提出来模拟气溶胶问题。随后被Marchisio[2]证明这种方法只需要求解少量的矩传输方程就可以封闭PBE,并且其误差也非常小。

    相对于离散法,如果不需要获取准确的NDF,矩方法有非常大的优势。它的优点为只需要计算少量的矩传输方程即可(一般为6个或者8个)。缺点为其积分矩节点可能不适用来描述NDF,以及Product-Difference算法也比较耗时。
  • 2.3.3.1. 数值方法

  • QMOM方法建立于使用一系列正交多项式来表示连续的数量密度函数。对于一个正交多项式,其具有积分点$L_i$以及权因子$w_i$。数量密度函数可以这样来假定: \begin{equation}\tag{2.76} \int\limits_0^\infty f(L)n(L) \mathrm{d}L \approx \sum_{i=1}^{N}f(L_i)w_i, \end{equation} 对于方程2.76具有N阶精度的条件为$f(L)$为插值型的,其越接近$N$阶插值多项式,这个近似积分的结果越准确。依据矩的定义,其可以通过下述公式来直接计算(译者注: ${m_k} = \mathop \smallint \limits_0^\infty n\left( L \right){L^k}dL = \mathop \sum \limits_{i = 1}^N {w_i}L_i^k$) : \begin{equation}\tag{2.77} m_k=\sum_{i=1}^{N} w_iL_i^k \end{equation} 方程右端为$N$阶积分假定,其由$N$个权因子$w_i$,节点$L_i$计算而来,这$N$个权因子以及节点可以通过前$2N$个动量进行递归关系反推而求出。这种关系如果用矩阵来表达的话,会发现积分节点即为这个矩阵的特征值[3]。这种由$2N$个已知动量进而求得积分点的算法可通过Product-Difference算法来计算。一旦获取了积分权因子以及积分节点,破碎以及聚并源项就可以通过高斯积分来计算,矩传输方程得以封闭。由方程2.76以及2.77,方程2.64中的生成和死亡项可以表示为: \begin{equation}\tag{2.78} \overline{B}_{ag,k}=\frac12\sum_{i=1}^{N}w_i \sum_{j=1}^{N}w_j(L_i^3+L_j^3)^{k/3}a(L_i,L_j) \end{equation} \begin{equation}\tag{2.79} \overline{D}_{ag,k}=\sum_{i=1}^{N}L_i^kw_i \sum_{j=1}^{N}w_ja(L_i,L_j) \end{equation} \begin{equation}\tag{2.80} \overline{B}_{br,k}=\sum_{i=1}^{N}w_i \int\limits_0^\infty L_kg(L_i)\beta(L|L_i) \mathrm{d}L \end{equation} \begin{equation}\tag{2.81} \overline{D}_{ag,k}=\sum_{i=1}^{N}w_i w_iL_i^kg(L_i) \end{equation} 理论上,如果使用QMOM来求解PBE,聚并核和破碎核可以采用任何的形式。成核速率参考SMM方法,增长率参见方程2.69,依据QMOM方法可以表示为: \begin{equation}\tag{2.82} \sum_{i=1}^{N}w_iL_i^{k-1}G(L_i) \end{equation} 其适用于依赖粒径的增长率。
  • 2.3.4. 直接积分矩方法(DQMOM)

  • 类似于QMOM,通过矩转置,DQMOM也可将数量密度方程转化为了其他类型的传输方程 。其主要区别为:在一个网格中,DQMOM传输方程中节点的速度场为节点相关的(QMOM传输方程中节点的速度场等于离散相的速度场),这使得DQMOM可以用来预测粒子交互作用引起的离散相分离。

    目前植入的DQMOM算法中,需要指定四相:一个连续相以及三个离散相(积分点)。相对比与QMOM,对于三积分点算法,DQMOM需要三个附加方程来求解粒子的有效长度,每个积分点的传输方程存在附加的源项。在ANSYS Fluent中,附加的源项用来解释增、聚并以及破碎。目前不考虑成核。
  • 2.3.4.1. 数值方法

  • 对于存在聚并、破碎以及增长的分散粒子系统,DQMOM方程可以如下表示[4]: \begin{equation}\tag{2.83} \frac{\partial \epsilon_ip_s}{t}+\nabla\cdot(\overline{u}_{si}\epsilon_ip_s)= 3k_vp_sL_i^2(b_i+w_iG_i)-2k_vp_sL_i^3a_i \end{equation} \begin{equation}\tag{2.84} \frac{\partial \epsilon_iL_ip_s}{t}+\nabla\cdot(\overline{u}_{si}\epsilon_iL_ip_s)= 4k_vp_sL_i^3(b_i+w_iG_i)-3k_vp_sL_i^4a_i \end{equation} 其中$ε_i$和$ε_i L_i$表示粒子相分数以及粒子有效直径。$w_i$为每单位体积的粒子总数,$G_i$为积分点i的增长率,$a_i$和$b_i$可以通过矩转置方法求出,这个线性方程组可表示为: \begin{equation}\tag{2.85} Aa=d \end{equation} 其中$2N×2N$个矩阵系数($A=[A_1 A_2]$)定义为: \begin{equation} \tag{2.86} %开始数学环境 A_1=\left[ %左括号 \begin{array}{ccc} %该矩阵一共3列,每一列都居中放置 1 & \dots & 1\\ %第一行元素 0 &\dots& 0\\ -L_1^2 &\dots&-L_N^2 \\ \vdots&\ddots& \vdots\\ 2(1-N)L_1^{2N-1} &\dots& 2(1-N)L_N^{2N-1}\\ %第二行元素 \end{array} \right] %右括号 \end{equation} \begin{equation} \tag{2.87} %开始数学环境 A_2=\left[ %左括号 \begin{array}{ccc} %该矩阵一共3列,每一列都居中放置 0& \dots & 0\\ %第一行元素 1 &\dots& 1\\ 2L_1&\dots&L_N \\ \vdots&\ddots& \vdots\\ (2N-1)L_1^{2N-2} &\dots& (2N-1)L_N^{2N-2}\\ %第二行元素 \end{array} \right] %右括号 \end{equation} $2N$个未知的$α$矢量定义为: \begin{equation}\tag{2.88} a=[a_1...a_N\quad b_a...b_N]_T= \left[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right] \end{equation} 方程2.85右半部分为聚并和破碎源项。增长项由方程2.83和2.84直接指定。目前不支持成核。 \begin{equation}\tag{2.89} d=\left[S_0^{(N)}...S_{2N-1}^{(N)}\right]^T \end{equation} $k$阶矩的源项$S_k^{(N)} (k=0,…,2N-1)$定义为: \begin{equation}\tag{2.90} S_k^{(N)}(x,t)=\int\limits_0^\infty L^K S(x,t) \mathrm{d}L \end{equation}
  • 2.4. 群体平衡统计理论

  • 下面的章节我们引入一些统计学概念,这有助于我们更好的理解群体平衡模型。
    2.4.1.从矩来重组NDF函数
    2.4.2.Log-normal分布
  • 2.4.1. 从矩来重组NDF函数

  • 给定一系列的矩,NDF函数可以由此来进行重组[5],其最初由S.Pope等人用于湍流火焰相关理论、后来由J.Baldyga拓展为结晶过程[6]。

    NDF函数可以表示为: \begin{equation}\tag{2.91} n(L)=exp\left(\sum_{i=0}^{N-1}A_iL^i\right)) \end{equation} $k$阶矩可以表示为: \begin{equation}\tag{2.92} m_k=\int\limits_0^\infty {L^kexp\left(\sum_{i=0}^{N-1}A_iL^i\right)\mathrm{d}L} \quad k=0,1,...,N-1 \end{equation} 给定$N$个矩,系数$A_i$可以通过Newton-Raphson方法来获得进而来进行NDF函数重组,如图2.2。

    表2.3

  • 2.4.2. Log-normal分布

  • 当使用群体平衡模型的时候,用户可以指定速度进口的NDF函数为Log-normal分布。Log-normal形式的NDF函数可以表示为: \begin{equation}\tag{2.93} n(L)=\frac{1}{L\sigma\sqrt{2\pi}} e^\frac{\left(lnL-\mu\right)^2}{(2\sigma^2)} \end{equation} 其中$μ$和$σ$分别为Log-normal分布的位置和缩放因子,其可表示为: \begin{equation}\nonumber \mu=ln(\mu')-\frac{1}{2}ln\left ( 1+\frac{\sigma'^2}{\mu'^2} \right ) \end{equation} \begin{equation}\nonumber \sigma^2=ln\left ( 1+\frac{\sigma'^2}{\mu'^2} \right ) \end{equation} 其中$μ'$和$σ'$分别为Log-normal分布的平均值以及标准差,用户需要对其进行指定。


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