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SIMPLE PISO算法的评价

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引言

本文讨论CFD中的单相可压缩模拟和不可压缩模拟。对于可压缩流动求解,分别存在连续性方程、动量方程以及能量方程,可以分别用于求解密度、速度、能量,并依托状态方程通过密度求解压力。对于不可压缩流动求解,由于不存在一个单独的压力方程,导致求解较为复杂。历史上,存在着各种不同的方法用于求解不可压缩流动,如步进法(Kim and Moin, 1985)、流函数法、任意可压缩法(Chorin, 1967)、投影法(Chorin, 1967)等。一些文献中认为步进法和投影法为同一种方法,即Kim and Moin于1985年提出的步进法为Chorin于1967年提出的投影法的变种(Hirsch, 2007)。SIMPLE(Patankar and Spalding, 1983)和PISO(Issa, 1986)均属于投影法。本文不涉及N-S方程离散等相关内容,有关N-S方程离散请参考icoFoam解析

可压缩流

首先看可压缩流的连续性方程、动量方程和能量方程:

\begin{equation} \frac{\p \rho}{\p t}+\nabla \cdot \rho\bfU=0 \label{contc} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial\rho \bfU}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho\bfU\bfU)=-\nabla p+\nabla \cdot(\mu\nabla \bfU) \label{momc} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial \rho e}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{U} e) + \frac{\partial \rho K}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{U} K)- \nabla \cdot (\alpha_\mathrm{eff}\nabla e)= -\nabla\cdot(p\mathbf{U}) \label{Efinal} \end{equation}

对可压缩流动进行求解的时候,可采取以下方法:

其中的显式步进法以及耦合求解法均不需要SIMPLE或PISO循环。也就是说对于可压缩流动,可以通过下面的步骤求解:

  1. 求解连续性方程获得密度,并通过状态方程更新压力;

  2. 求解动量方程获得速度;

  3. 求解能量方程获得温度;

  4. 更新可压缩性,进入下一个时间步;

不可压缩流

对于不可压缩流动,有不可压缩流体连续性方程和控制方程

\begin{equation} \nabla\cdot\bfU=0 \label{cont} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\nabla \cdot (\mathbf{U} \otimes\mathbf{U})=-\nabla \frac{p}{\rho}+\nabla \cdot(\nu \nabla \mathbf{U}), \label{mom} \end{equation}

方程\eqref{cont}、\eqref{mom}具有下述特点:

针对这些特性,不可压缩的求解通常采用投影法。投影法又进而分为显式投影法和隐式投影法。目前为了去除时间步长的限制,CFD中通常采用隐式投影法。例如,开源CFD软件OpenFOAM中植入的SIMPLE和PISO算法均属于隐式的投影法。在投影法中,

转化后的方程\eqref{poss}和\eqref{apanmomP}的特点依然为速度$\bfU$依赖压力$p$,反之亦然。这个特点引致CFD中俩种算法:

SIMPLE和PISO均属于分离式算法。PISO算法的思路为:

  1. 首先求解方程\eqref{apanmomP}骤获得预测速度;

  2. 通过预测速度求解方程\eqref{poss}获得压力;

  3. 通过压力修正速度,即:

    \begin{equation} \mathbf{U}_\mathrm{P}^{n+1} = \mathbf{HbyA}^{n+1} - \frac{1}{{{A_\mathrm{P}}}}\nabla {p^{n+1}}. \label{hbya}\end{equation}

  4. 回到第二步,直到收敛;

SIMPLE和PISO

对于PISO算法的几点评价:

对于SIMPLE算法的几点评价:

最后,强调一点,速度压力耦合中的压力方程是整个求解过程中最关键的一步,整个求解器的效率依赖于它的表现。因此,所有的外挂如多重网格、矩阵预条件等黑科技、暴击都应该用于压力方程中,毫无保留。

参考文献

Kim, J., Moin, P., 1985. Application of a fractional-step method to incompressible Navier-Stokes equations. Journal of computational physics, 59, 308-323.

Chorin, A. J., 1967. The numerical solution of the Navier-Stokes equations for an incompressible fluid. Bulletin of the American Mathematical Society, 73, 928-931.

Chorin, A. J., 1967. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems. Journal of computational physics, 2, 12-26.

Patankar, S. V., Spalding, D. B., 1983. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows. In Numerical Prediction of Flow, Heat Transfer, Turbulence and Combustion, 13, 54-57

Issa, R. I., 1986. Solution of the implicitly discretised fluid flow equations by operator-splitting. Journal of Computational Physics, 62, 40-65.

Hirsch, C., 2007. Numerical computation of internal and external flows: The fundamentals of computational fluid dynamics. Butterworth-Heinemann.

Anderson, J. D., 2007. 计算流体力学基础及其应用.

2018.05.24大修

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