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  • 计算流体力学中的通量

    2017.03.28:大修
    计算流体力学(CFD)中通量的概念特别重要。在各种CFD代码以及SCI论文中,经常会看见$\phi$这个物理量。简单来讲,$\phi$由网格面的速度和面矢量计算而来即: \begin{equation} \phi=\mathbf{U}_f \cdot \mathbf{S}_f \end{equation} 其中$\mathbf{U}_f$为网格面上的速度矢量,$\mathbf{S}_f$为网格面矢量。$\phi$可以在SIMPLE或者PISO的压力方程中求出来。对于刚接触CFD的人来说,如何采用有限体积法将体积分转化为面积分,然后利用通量来表达会感到困惑。但通量这个概念实在重要,本文对其作出详细解释。

    面矢量

    在CFD中,离散的网格单元的每个面用矢量来表示,也就是说某个网格的面即有方向,又有大小,如下图所示:


    图1

    上图中表示了相同方向,不同大小(箭头长度不同)的面矢量。对于A,B,C三个网格单元,最上方的面矢量均为$y$方向,区别主要在于大小。面矢量的大小用矢量的模来表示: \begin{equation} |\mathbf{S}_f|=\sqrt{\mathbf{S}_x^2+\mathbf{S}_y^2+\mathbf{S}_z^2} \end{equation} 因此网格单元A的面的大小为$0.5$m$^2$,网格单元B的面的大小为$1$m$^2$,网格单元C的面的大小为$3$m$^2$。同样大小的面,会具有不同的方向,如下图所示:


    图2

    给定任意一个三维网格单元的面,其均可以用面矢量表示其大小和方向。

    面法向矢量

    面法向矢量用于定义面的法向,面法向矢量的特点是其模均为$1$,其计算公式为: \begin{equation} \mathbf{n}_f=\frac{\mathbf{S}_f}{|\mathbf{S}_f|} \end{equation} 对于图1中的网格单元,其面法向矢量如下表示:


    图3

    对于一个任意的弯曲几何的面网格,其面法向如下图所示:


    图4

    下面我们来看标准的有限控制体:


    图5

    其中的$\mathbf{S}$为两个网格连接面的矢量,即上文$\mathbf{S}_f$,其垂直于网格面,大小等于面的面积。由宿主网格(owner,上图中为$P$)指向相邻网格(neighbour,上图中为$N$)。同时,这个面的面单位矢量(面的方向)$\mathbf{n}$可以这样计算:$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{S}_f}{|\mathbf{S}_f|}$。同时我们看出,连接$P$网格体心和$N$网格体心的矢量方向和$\mathbf{S}_f$的方向并不相同。这会导致梯度的计算差异,在此不做详细介绍。

    速度矢量和通量

    和面矢量相同,速度矢量也具有方向和大小。通量具有俩种定义,一种为体积通量,其物理意义为单位时间内面流出来流体的体积,单位为m$^3$/s。另一种为质量通量,其物理意义为单位时间内面流出来流体的质量,单位为kg/s。不同的场合通常选取不同的通量。对于不可压缩流体,通常选取体积通量,对于可压缩流体,通常选取质量通量。

    在这里考虑体积通量$\phi$,其为面矢量和面速度矢量的点乘积: \begin{equation} \phi=\mathbf{U}_f \cdot \mathbf{S}_f \end{equation} 依据高等数学中矢量乘积的定义有: \begin{equation} \phi=\mathbf{U}_f \cdot \mathbf{S}_f=|\mathbf{U}_f||\mathbf{S}_f|\mathrm{cos}\theta \end{equation} 其中$\theta$为面矢量和面速度矢量的夹角。如果面矢量的方向和面速度矢量的方向相同,如下图所示:


    图6

    其中红色箭头表示速度矢量。体积通量表示为单位时间的绿色正方体体积。如果速度发生一些偏移,如下图所示:


    图7

    通量则会发生变化,因为绿色正方体的体积发生了变化。极端情况下,如果速度近乎和$y$方向相切,如下图所示:


    图6

    在这种情况下,通量近乎为$0$。

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