控制方程与算法
本文讨论的控制方程，与可压稳态SIMPLE算法中罗列的控制方程最重要的区别在于重力项：
(1)\[
\nabla\cdot\rho\bfU=0,
\]
(2)\[
\nabla \cdot (\rho\mathbf{U} \mathbf{U})=-\nabla p+\nabla \cdot\tau +\rho \bfg
\label{mom}
\]
(3)\[
p=\rho RT.
\]
方程(2)中的重力项以及压力项可以进行数值处理。定义
(4)\[
p_\mathrm{rgh}=p-\rho \bfg \cdot\bfh
\]
其中\(\bfh\)表示网格单元体心的位置矢量。对方程(4)进行梯度操作：
(5)\[
\nabla p_\mathrm{rgh}=\nabla p-\bfg\cdot \bfh \nabla \rho - \rho \bfg
\]
即为
(6)\[
-\nabla p+\rho \bfg=-\bfg\cdot \bfh \nabla \rho -\nabla p_\mathrm{rgh}
\]
将方程(6)代入到方程(2)中有：
(7)\[
\nabla \cdot (\rho\mathbf{U} \mathbf{U})=-\bfg\cdot \bfh \nabla \rho -\nabla p_\mathrm{rgh}+\nabla\cdot\tau.
\]
低速压力方程
在可压稳态SIMPLE算法中，速度修正量与压力修正量的关系可以写为：
(8)\[
\mathbf{U}_\mathrm{P}^{'} =
-\frac{1}{{{A^{n}_\mathrm{P}}}} \frac{1}{V_\rP}\sum_f p_f^{'}\bfS_f
\]
在浮力驱动流中，结合方程(6)，方程(8)演变为：
(9)\[
\mathbf{U}_\mathrm{P}^{'} = - \frac{1}{{{A^{n}_\mathrm{P}}}} \frac{1}{V_\rP}
\left(
\sum_f p_{\mathrm{rgh},f}^{'}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
+\sum_f \bfg_f\cdot \bfh_f \rho_f^{'}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\right)
\]
方程(9)提供了速度修正与压力修正的一对一关系。但发现，其中还存在密度修正。如果顺着这个思路进行，压力方程将进一步出现未知变量密度。
为了处理这个问题，我们可以将方程(9)中的密度修正忽略掉。这是一种方法，但处理起来比较激进。另外一种方法是，参考可压稳态SIMPLE算法，由于能量方程会更新可压缩性\(\psi^{corr}\)，在更新可压缩性后，在\(\psi^{corr}\)的基础上，可以通过状态方程更新密度中间量：
(10)\[
\rho^{corr}=p^n/\psi^{corr}
\]
从而，认为\(\rho^n\)与密度修正量\(\rho^{'}\)的关系，满足：
(11)\[
\rho^{corr}=\rho^n+\rho^{'}
\]
而非\(\rho^{n+1}=\rho^n+\rho^{'}\)。这样，由于\(\rho^{corr}\)已经通过方程(10)求出，因此压力方程仅仅存在未知量压力。依据此思想，结合修正方程(9)有：
(12)\[
\mathbf{U}_\mathrm{P}^{**} = \mathbf{HbyA}^{*}_\mathrm{P} - \frac{1}{{{A^n_\mathrm{P}}}} \frac{1}{V_\rP}
\left(
\sum_f p_{\mathrm{rgh},f}^{*}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
+\sum_f \bfg_f\cdot \bfh_f \rho_f^{corr}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\right).
\]
(13)\[
\mathbf{U}_f^{**} = \mathbf{HbyA}^{*}_f - \frac{1}{{{A^n_f}}} \frac{1}{V_\rP}
\left(
\sum_f p_{\mathrm{rgh},f}^{*}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
+\sum_f \bfg_f\cdot \bfh_f \rho_f^{corr}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\right)_f.
\]
(14)\[
\mathbf{U}^{**} =\mathbf{U}^{*}+\bfU^{'}
\]
在这里，低速流认为\(\mathbf{U}_f^{**}\)需要满足连续性方程：
(15)\[
\sum_f \rho_f^{corr}\mathbf{U}_f^{**} \cdot \bfS_f=0.
\]
注意：
高速流则同样满足
\[
\sum_f (\rho_f^{n}+\rho_f')(\mathbf{U}_f^{*}+\bfU^{'} )\cdot \bfS_f=0.
\]
但需要将\(\rho_f^{corr}\)分解为\(\rho_f^{n}+\rho_f'\)处理。
同样的，方程(15)中的密度采用已知的密度（低速流密度变动充分小）。将方程(13)代入到方程(15)中有：
(16)\[\begin{split}
\sum_f \rho_f^{corr} \mathbf{HbyA}^{*}_f \cdot \bfS_f
-
\sum_f
\frac{\rho^{corr}_f}{{{A^n_f}}} \frac{1}{V_\rP}
\left(
\sum_f \bfg_f\cdot \bfh_f \rho_f^{corr}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\right)_f
\cdot \bfS_f
\hspace{5em}
\\
= \sum_f\frac{\rho^{corr}_f}{{{A^n_f}}} \frac{1}{V_\rP}
\left(
\sum_f p_{\mathrm{rgh},f}^{*}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\right)_f
\cdot \bfS_f.
\end{split}\]
方程(16)的连续形式为：
(17)\[
\nabla\cdot(\rho^{corr}\mathbf{HbyA})
-
\nabla\cdot\left(\rho^{corr} \frac{1}{A}\bfg\cdot\bfh\nabla\rho\right)
=
\nabla\cdot\left(\rho^{corr}\frac{1}{A} \nabla p_{\mathrm{rgh}}^*\right)
\]
注意：
可以看出其中的未修正的速度，方程的左侧，可以继续写为\(\mathbf{HbyA}-\frac{\bfg\cdot\bfh}{A}\nabla\rho\)
可见，方程(16)可用于求解获得压力\(p^*\)。将\(p^{*}\)代入到方程(12)有\(\mathbf{U}_\mathrm{P}^{**}\)。随后，密度再次通过状态方程进行更新：
(18)\[
\rho^*=\psi^{corr}p^*
\]
在这里需要注意的是，参考可压稳态SIMPLE算法，其中的速度更新方法为：
(19)\[
\mathbf{U}_\mathrm{P}^{**} = \mathbf{HbyA}^{*}_\mathrm{P} - \frac{1}{V_\rP}\frac{1}{{{A_\mathrm{P}^{n}}}} \sum_f p_f^{*}\bfS_f.
\]
其中并没有考虑体积力浮力的作用。在浮力驱动流中，要考虑浮力体积力的影响，也即需要通过方程(12)的方式来更新\(\mathbf{U}_\mathrm{P}^{**}\)。在这里将其进行重写：
(20)\[
\mathbf{U}_\mathrm{P}^{**} = \mathbf{HbyA}^{*}_\mathrm{P} - \frac{1}{{{A^n_\mathrm{P}}}} \frac{1}{V_\rP}
\left(
\sum_f p_{\mathrm{rgh},f}^{*}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
+\sum_f \bfg_f\cdot \bfh_f \rho_f^{corr}\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\right)
\]
可压稳态浮力驱动SIMPLE算法为一个稳态求解器。同样的需要对压力进行场松弛，速度、能量等方程进行矩阵松弛增加稳定性。同样的，可压稳态浮力驱动流也可以调用SIMPLEC算法。由于算法考虑了浮力源项的作用，这主要带来了两点变化：
附加浮力的求解器压力变量变为了\(p_{\mathrm{rgh}}\)；
附加除了压力项之外的求解器，速度修正与压力修正的关系会变得更加复杂，如方程(9)；
为了防止修正量过大，密度修正、压力修正都可以进行场松弛；
需要注意的是。可压稳态浮力驱动流SIMPLE算法在整个迭代过程中，为一个迭代求解器，因此对于各种变量的更新，某些过程可以忽略。一些可以忽略的过程比如有：
速度方程可以不进行求解；
密度中间变量可以不进行更新；
那么具体的，是否需要进行这些必要操作，是问题依赖的。但这并不影响最终向收敛过程的推进。
关键代码
可压稳态浮力驱动SIMPLE算法的关键代码与可压稳态SIMPLE算法无主要差异。唯一的区别在与压力方程。另外，方程(12)中速度方程的更新采用了reconstruct()函数：
U = HbyA + rAU*fvc::reconstruct((phig - p_rghEqn.flux())/rhorAUf);
其中HbyA不需要进行解释。phig的代码为：
surfaceScalarField phig(-rhorAUf*ghf*fvc::snGrad(rho)*mesh.magSf());
其可以翻译为：
\[
-\left(\frac{\rho^{corr}_f}{A^n_\rP}\right)_f \bfg_f\cdot\bfh_f (\nabla\rho^{corr})_f\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\]
其中有关于面法向梯度fvc::snGrad()的离散，请参考《无痛苦NS方程笔记》。p_rghEqn.flux()中的p_rhoEqn代码如下：
fvScalarMatrix p_rghEqn
(
fvm::laplacian(rhorAUf, p_rgh) == fvc::div(phiHbyA)
);
其中的p_rghEqn.flux()可以翻译为：
\[
\left(\frac{\rho^{corr}_f}{A^n_\rP}\right)_f (\nabla p_{\mathrm{rgh}})_f\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\]
更详细的关于p_rghEqn.flux()的解释，请参考《无痛苦NS方程笔记》。因此对于下述代码：
+rAU*fvc::reconstruct((phig - p_rghEqn.flux())/rhorAUf);
可以理解为：
\[
+
\frac{1}{A^n_\rP}
\mathrm{recon}\left(
\left(
-\left(\frac{\rho^{corr}}{A^n_\rP}\right)_f \bfg_f\cdot\bfh_f (\nabla\rho^{corr})_f\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
- \left(\frac{\rho^{corr}}{A^n_\rP}\right)_f (\nabla p_{\mathrm{rgh}})_f \frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}|\bfS_f|
\right)\frac{(A^n_\rP)_f}{\rho^{corr}_f}
\right)
\]
约去相关项并展开reconstruct()函数：
\[
+
\frac{1}{A^n_\rP}
\frac{\sum \bfn_f \cdot\left(
- \bfg_f\cdot\bfh_f (\nabla\rho^{corr})_f\frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}
- (\nabla p_{\mathrm{rgh}})_f \frac{\bfS_f}{|\bfS_f|}
\right) |\bfS_f|}
{
\sum \bfn_f\cdot\bfS_f
}
\]
其连续性形式为：
\[
-\frac{1}{A^n}\bfg\cdot\bfh\nabla\rho^{corr}
-\frac{1}{A^n} \nabla p_{\mathrm{rgh}}
\]
更详细的关于reconstruct()的解释，请参考《无痛苦NS方程笔记》。