Hint

目前为止，Navier-Stokes方程的存在性以及光滑性的证明是世界未解决的科学问题之一。美国克雷数学研究所对这个问题有严格的定义。岳子结合自己的理解，对其全文人工翻译且添加注释，力图让其他人理解这个数学问题。可以帮助CFD从业人员了解自己的研究内容的重要性以及有趣的点。在这里也提出灵魂一问：针对一个解的光滑性与存在性都不确定的NS方程组，为什么大家用了几十年？

CFD: NS方程解的存在性与光滑性

英文标题：Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation, 作者：C.L. Fefferman

欧拉与NS方程用于描述流体在二维或者三维空间的运动。这些方程可以用于求解速度场\(\bfU\)、压力场\(p\)。这些场定义在任意的时间以及空间。

Note

原文中有定义\(p(x,t) \in \mathbb{R}\)，其仅仅表示压力定义在空间和时间上，为方便理解，在这里略去\(\mathbb{R}\)的相关的数学描述，取而代之用文字替代。

如果我们考虑不可压缩流体，那么NS方程可以写为：

(1)\[ \frac{\p\bfU}{\p t}+\mathbf{U}\cdot\nabla \mathbf{U}-\nu\nabla^2 \mathbf{U}=-\nabla p+\bff, \]

(2)\[ \nabla\cdot\bfU=0, \]

且其存在一个明确的初始条件：

(3)\[ t=0, \bfU=\bfU^0 \]

其中\(\bfU\)表示速度、\(p\)表示压力、\(\nu\)表示粘度，\(\bfU^0\)表示给定的，守恒的，在空间上可以做任意的高阶导数，也即光滑的速度场（例如 \(\mathrm{sin}(x)\) 就是一个可以做任意高阶导数充分光滑的函数）。\(\bf\)表示给定的外部体积力，比如重力。如果粘度为0，那么NS方程退化为欧拉方程。

方程(1)来源于牛顿定律。方程(2)只不过表示流体不可压缩的守恒特性。从物理上，我们需要确定即使\(|x|\)趋向于无穷大的时候，\(\bfU\)也不会变的特别大。 因此，我们需要对初始条件以及体积力做两个限定：

对于任意的\(\alpha,K\)，初始场在任意位置的任意阶导数，都小于某个常数：

(4)\[ \left|\nabla^\alpha \bfU \right| \leqslant \frac{C_{\alpha K}}{ (1+|x|)^{K}} \]

对于任意的\(\alpha,m,K\)以及任意时刻下，\(\bff\)在任意位置任意时间的任意阶导数，都小于某个常数：

(5)\[ \left| \frac{\p^m}{\p t^m} (\nabla^\alpha \bff)\right| \leqslant \frac{C_{\alpha m K}}{ (1+|x|+t)^{K}} \]

Note

\(C_{\alpha K}\)表示C与\(\alpha,K\)相关的非固定的常数。\(C_{\alpha m K}\)同理。\(\nabla^\alpha \bfU \)表示对\(\bfU\)的\(\alpha\)阶导数。

在施加了方程(4)和方程(5)的限定条件之后，如果NS方程的解满足下面的条件，我们就认为这个解是合理的：

速度和压力不会无限大;
流场的能量不会无限大；

Note

原文用\(\bfU\)平方项的积分来表示总能量。这里略去数学公式。这样做是可以理解的因为速度的平方与动能高度相关。

上述两个条件在原文中存在数学公式，在这里简称为流动有界限定和能量有界限定。

上述的问题定义在了任意的空间位置，这也就表明了可能存在无限大的空间的情况。为了不去处理那些涉及到无限大的\(x\)的情况。我们可以考虑周期性空间的问题。假定问题定义为一个立方体内。假定初始速度，以及体积力满足：

(6)\[ \bfU^0(\bfx +\mathbf{e})=\bfU^0(\bfx),\bff^0(\bfx +\mathbf{e},t)=\bff^0(\bfx,t) \]

且认为初始速度以及体积力同样满足方程(4)和方程(5)。我们认为NS方程的解，如果可以满足下面的条件，就是合理的：

速度呈现周期分布；
流场的能量不会无限大；

Note

这个周期计算域，体现在原文的\(e_j\)的定义上。原文将\(e_j\)定义为单位矢量。因此这个周期空间只能是1。

问题的关键是，NS方程是否存在这样的光滑解？ 因此我们需要证明下面4个关键问题中的1个问题：

证明NS方程在全域内解的光滑性以及存在性；在三维空间内假定粘度大于0，且存在一个光滑的守恒的速度场，其满足方程(4)，进一步假定体积力为0。证明存在光滑的压力以及速度，其是NS方程的解，且同时满足流动有界限定以及能量有界限定。
证明NS方程在周期计算域内解的光滑性以及存在性；在三维空间内假定粘度大于0，且存在一个光滑的守恒的速度场，其满足方程(6)，进一步假定体积力为0。证明存在光滑的压力以及速度，其是NS方程的解，且同时满足流动有界限定以及能量有界限定。
反证NS方程在全域内解的光滑性以及存在性；在三维空间内假定粘度大于0，且存在一个光滑的守恒的速度场，其满足方程(4)，进一步假定体积力为0。证明在全域内不存在一套光滑的压力以及速度，其是NS方程的解，且同时满足流动有界限定以及能量有界限定。
反证NS方程在周期计算域内解的光滑性以及存在性；在三维空间内假定粘度大于0，且存在一个光滑的守恒的速度场，其满足方程(6)，进一步假定体积力为0。证明在周期计算域内不存在一套光滑的压力以及速度，其是NS方程的解，且同时满足流动有界限定以及能量有界限定。

阶段性的进展

未完待续…