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本网页讨论的机器学习内容，为特定的机器学习内容（并未与CFD结合）。在《无痛苦NS方程笔记》中， 特定的将CFD与机器学习互相结合起来，无普适性机器学习内容。

ML: 极限学习机

极限学习机的思想非常简单。因为神经网络可以看做是一个拟合的过程，另一方面，最小二乘法也可以用来数据拟合，这在机器学习被提出之前有大量的应用。极限学习机的设计思想即为：

  1. 只存在一层隐藏层，神经元数量固定后，从输入到这一层的权重和偏置随机生成且固定不变；

  2. 附加一层激活层（一些人认为激活层与第一层可以当做一层隐藏层）；

  3. 通过最小二乘法计算激活层到输出层的权重；

可见极限学习机可以看做是特别简单的神经网络（在这里公式都不需要写了），不同点上面三点已经全部提现。在CFD领域，一些文章采用了极限学习机来进行研究，比如Maulik和San就采用了极限学习机来进行了LES的数据驱动建模工作[MS17]。

有意思的是极限学习机目前比较有争议。尤其是卷积神经网络的提出者LeCun对其持有非常怀疑的态度。在一些公开可追溯的链接里面，LeCun对其观点进行了总结：

极限学习机到底有什么好的？我不明白ELM有什么特别好的。有人能解释一下吗？ELM基本上是一个两层神经网络，其中第一层是固定和随机的，第二层是训练的。这种想法有很多问题。因为随机连接第一层几乎是最愚蠢的做法。这在标记数据量很小的情况下，可能会有效。其优点类似于支持向量机（虽然程度较低）：需要监督训练的参数很少（因为第一层是固定的）且容易正则化（因为它们构成一个线性分类器）。但既然如此，为什么不直接用支持向量机呢？在小模型中，这种随机一层网络可能表现尚可。但你永远不会看到它们在复杂任务上打破记录，比如语音识别等。

当然在这个链接里面，大量的人认为LeCun的观点也存在问题。很多人认为简单的并不是愚蠢的。在CFD算法领域也一样，只有简单的且精准的算法才能获得最广泛的应用。一些算法很精准，但是太复杂并不能够大量的被应用。因此有关极限学习机的探讨，目前还在持续进行下去。

[MS17]

Romit Maulik and Omer San. A neural network approach for the blind deconvolution of turbulent flows. Journal of Fluid Mechanics, 831:151–181, 2017.